Uživatelské nástroje
Postranní lišta
Přidat stránku do knihy 
Odebrat stránku z knihy 
Zobrazit/upravit knihu (
Nápověda Toto je starší verze dokumentu!
Průsečík přímky a kružnice s CAS Maxima
Zadání
Je dána kružnice 
a přímka 
. Určete hodnotu parametru m, aby přímka p byla tečnou ke kružnici k.
Teorie
Kružnice je zadána ve středovém tvaru, ze kterého pohodlně přečteme souřadnice středu [m;1] a poloměr přímky r = 4. Střed má tedy neznámou x-souřadnici (je dána parametrem m). Přímka je zadána obecnou rovnicí.
Abychom nalezli m (x-souřadnici středu), budeme hledat průsečíky k a p tak, aby existoval právě jeden (tzn. přímka s kružnicí mají jeden společný bod, je to tečna). Řešíme proto soustavu rovnic přímky a kružnice a hledáme společný bod [x;y].
Není nutné celou soustavu dořešit, stačí si uvědomit, že chceme, aby měla právě jedno řešení, proto ve chvíli, kdy dostáváme kvadratickou rovnici, stačí vzít její diskriminant a položit ho roven nule (je-li diskriminant nula, vyjde právě 1 řešení). Dořešíme jen rovnici s diskriminantem a dostáváme hodnoty parametru m.
Řešení
Spusťte program wxMaxima a začněte psát (i když nikde nebliká kurzor, to nevadí) nebo pište do okna online verze. Pokud používáte program wxMaxima, musíte za každým příkazem stisknout Shift+Enter, aby se vykonal!
| Příkaz wxMaxima | Vysvětlení | Postup |
|---|---|---|
k: (x-m)^2+(y-1)^2=16; | Vkládáme rovnici kružnice a pojmenováváme ji k. | Zadáváme rovnice do programu. |
p: x-3*y+6=0; | Vkládáme rovnici přímky a pojmenováváme p. | |
solve([k,p],[x,y]); | Necháváme program vyřešit soustavu rovnic k, p vzhledem k neznámým x a y, m je tedy parametr. Všimneme si, že x_1 a x_2, stejně jako y_1 a y_2 se liší přičtením či odečtením výrazu pod odmocninou (disktiminant), ten by tedy měl být 0. Zkusíme si nejprve vyřešit soustavu „ručně“ dosazovací metodou. | |
solve(p,y); | Necháme „vyřešit“ přímku p pro proměnnou y s „parametrem“ x neboli necháme vyjádřit z rovnice přímky p neznámou y vzhledem k x. | Vyřešíme soustavu rovnic k a p dosazovací metodou, dosazením za y z rovnice přímky. |
rhs(%[1]); | Zobrazíme si jen pravou stranu rovnice, která nám vyšla, to dělá funkce rhs(). symboly %[1] říkají, že z předchozího výsledku, kterým byl (jednoprvkový) seznam (má hranaté závorky) bereme hned první (a zde jedinou) položku. |
|
subst(%,y,k); | Substituujeme (dosazujeme) do rovnice k místo neznámé y hodnotu předchozího výsledku (znak %). Pokud něco nefunguje, můžeme rovnou místo znaku % napsat (x+6)/3. |
|
expand(%); | Roznásobíme předchozí rovnici. | |
%-16 | Od předchozího výsledku odečteme 16, abychom dostali na levé straně kvadratický trojčlen a na pravé straně rovnice nulu. | |
Nástroje pro stránku
