GMLWiki

Tato stránka je pouze pro čtení. Můžete si pouze prohlédnout zdrojový kód, ale ne ho měnit. Zeptejte se správce, pokud si myslíte, že něco není v pořádku.
====== Průsečík přímky a kružnice s CAS Maxima ======

===== Zadání =====
Je dána kružnice $k: (x-m)^2+(y-1)^2=16$ a přímka $p: x-3y+6=0$. Určete hodnotu parametru //m//, aby přímka //p// byla tečnou ke kružnici //k//.

===== Teorie =====
Kružnice je zadána ve středovém tvaru, ze kterého pohodlně přečteme souřadnice středu [//m//;1] a poloměr přímky //r// = 4. Střed má tedy neznámou x-souřadnici (je dána parametrem //m//). Přímka je zadána obecnou rovnicí.

Abychom nalezli //m// (x-souřadnici středu), budeme hledat průsečíky //k// a //p// tak, aby existoval právě jeden (tzn. přímka s kružnicí mají jeden společný bod, je to tečna). Řešíme proto soustavu rovnic přímky a kružnice a hledáme společný bod [//x//;//y//].

Není nutné celou soustavu dořešit, stačí si uvědomit, že chceme, aby měla právě jedno řešení, proto ve chvíli, kdy dostáváme kvadratickou rovnici, stačí vzít její diskriminant a položit ho roven nule (je-li diskriminant nula, vyjde právě 1 řešení). Dořešíme jen rovnici s diskriminantem a dostáváme hodnoty parametru //m//.

===== Řešení =====
Spusťte program wxMaxima a začněte psát (i když nikde nebliká kurzor, to nevadí) nebo pište do okna [[http://www.maxima-online.org|online verze]]. Pokud používáte program wxMaxima, musíte za každým příkazem stisknout **Shift+Enter**, aby se vykonal!

^   Příkaz wxMaxima   ^    Vysvětlení   ^  Postup  ^
| <code>k: (x-m)^2+(y-1)^2=16;</code>  | Vkládáme rovnici kružnice a pojmenováváme ji k.  | Zadáváme rovnice do programu.   |
| <code>p: x-3*y+6=0;</code>           | Vkládáme rovnici přímky a pojmenováváme p.       | ::: |
| <code>solve([k,p],[x,y]);</code>     | Necháváme program vyřešit soustavu rovnic //k//, //p// vzhledem k neznámým //x// a //y//, //m// je tedy parametr. Všimneme si, že x<sub>1</sub> a x<sub>2</sub>, stejně jako y<sub>1</sub> a y<sub>2</sub> se liší přičtením či odečtením výrazu pod odmocninou (disktiminant), ten by tedy měl být 0. Zkusíme si nejprve vyřešit soustavu "ručně" dosazovací metodou.   ||
| <code>solve(p,y);</code>             | Necháme "vyřešit" přímku //p// pro proměnnou //y// s "parametrem" //x// neboli necháme vyjádřit z rovnice přímky //p// neznámou //y// vzhledem k //x//.    | Vyřešíme soustavu rovnic //k// a //p// dosazovací metodou, dosazením za //y// z rovnice přímky.  |
| <code>rhs(%[1]);</code>              | Zobrazíme si jen pravou stranu rovnice, která nám vyšla, to dělá funkce ''rhs()''. symboly ''%[1]'' říkají, že z předchozího výsledku, kterým byl (jednoprvkový) seznam (má hranaté závorky) bereme hned první (a zde jedinou) položku.   | ::: |
| <code>subst(%,y,k);</code>           | Substituujeme (dosazujeme) do rovnice //k// místo neznámé //y// hodnotu předchozího výsledku (znak %). Pokud něco nefunguje, můžeme rovnou místo znaku % napsat ''(x+6)/3''.    | ::: |
| <code>expand(%);</code>              | Roznásobíme předchozí rovnici.    | ::: |
| <code>%-16</code>                    | Od předchozího výsledku odečteme 16, abychom dostali na levé straně kvadratický trojčlen a na pravé straně rovnice nulu.   | Máme kvadratickou rovnici pro //x// vzhledem k //m//. Jelikož ale nepotřebujeme znát hodnotu //x//, ale pouze zajistit, aby mělo jediné řešení, budeme dále určovat diskriminant kvadratické rovnice tak, aby byl roven 0.   |
| <code>lhs(%);</code>                 | Zobrazíme si jen levou stranu rovnice, tj. pouze kvadr. trojčlen.          |  ::: |
| <code>ratcoef(%,x,2);</code>         | Z předchozího výsledku (znak %) si zobrazíme koeficient pro //x// v 2. mocnině.   | ::: |
| <code>let(a,%o10);</code>            | Nastavíme programu, že má písmeno //a// později substituovat hodnotou výsledku na řádku 10 (znaky %o10), tj. předchozí výsledek. Pozor, nelze použít znak %, výraz se bude vyhodnocovat až ve chvíli samotného substituování! | ::: |
| <code>ratcoef(%o9,x,1);</code>       | Z výsledku na řádku 9 (znak %o9, řádek s kvadratickým trojčlenem) si zobrazíme koeficient pro //x// v 1. mocnině.   | ::: |
| <code>let(b,%o12);</code>            | Nastavíme programu, že má písmeno //b// později substituovat hodnotou výsledku na předchozím řádku (%o12). | ::: |
| <code>ratcoef(%o9,x,0);</code>       | Z výsledku na řádku 9 si zobrazíme koeficient pro absolutní člen (//x// v 0. mocnině)-   | ::: |
| <code>let(c,%o14);</code>            | Nastavíme programu, že má písmeno //c// později substituovat hodnotou výsledku na předchozím řádku (%o14). | ::: |
| <code>letsimp(b^2-4*a*c);</code>     | Necháme vypsat vzorec pro diskriminant, funkce //letsimp// do něj dosadí za neznámé //a//, //b// a //c// dříve nastavené hodnoty.   |  :::  |
| <code>%=0;</code>                    | V předchozím řádku určený diskriminant položíme roven nule. | Máme rovnici diskriminantu rovnu nule, hledáme pro jaká //m// bude nula a tudíž vyjde jediný průsečík přímky s kružnicí.  |
| <code>solve(%);</code>               | Necháme vyřešit rovnici v předchozím řádku.   | Program nalezl 2 možné hodnoty parametru //m//. máme řešení. |

Bude-li $m =\pm4 \sqrt{10} -3$, bude se kružnice dotýkat přímky.

Můžeme ještě spočítat souřadnice tečného bodu:
^   Příkaz wxMaxima   ^    Vysvětlení   ^  Postup  ^
| <code>rhs(%[1]);</code>  | příkaz rhs vybere jen pravou stranu rovnice, %[1] říká první část ze seznamu posledního výsledku.   | Zobrazíme hodnotu //m<sub>1</sub>//.   |
| <code>subst(%,m,k);</code>  | Substituujeme (dosadíme) předchozí výsledek za parametr //m// do rovnice kružnice.   | Dosadíme za parametr do kružnice.   |
| <code>solve([%,p],[x,y]);</code>  | Vyřešíme soustavu rovnic, první je předchozí výsledek (kružnice s dosazeným parametrem), druhá je přímka, hledáme neznámé //x// a //y//.   | Hledáme průsečík kružnice a přímky pro první hodnotu parametru //m//.   |
| <code>rhs(%o18[2]);
subst(%,m,k);
solve([%,p],[x,y]);
</code>  | Výsledek pro druhou hodnotu parametru //m<sub>2</sub>// dostaneme analogicky, nejprve zobrazujeme druhou hodnotu (jen pravou stranu) z výsledku na řádku 18.  | Dopočítáme tečný bod pro druhou hodnotu parametru.   |

Celý výpočet pro program wxMaxima si můžete {{:matematika:software:maxima:kruzniceaprimka.wxm|stáhnout}}. Otevřete nové okno a po načtení klikněte v menu na "Cell" → "Evaluate All Cells". Nezapomeňte, že při opakovaném provedení příkazu (stisku Shift+Enter) znamená znak % v příkazu vždy výsledek naposledy provedeného výpočtu, nikoliv předchozího řádku. Při opakovaném provedení se také mění čísla řádků, takže nemusí odpovídat správně očíslování např %o18.

Exportovanou podobu v HTML najdete na [[http://www.gml.cz/prof/rydlo/matika/maxima/kruzniceaprimka1.html|stránkách prof. Rýdla]].
GMLWiki

Uživatelské nástroje

Nástroje pro tento web

Nástroje pro stránku
