Uživatelské nástroje
Postranní lišta
Přidat stránku do knihy 
Odebrat stránku z knihy 
Zobrazit/upravit knihu (
Nápověda Průsečík přímky a kružnice s CAS Maxima
Zadání
Je dána kružnice 
a přímka 
. Určete hodnotu parametru m, aby přímka p byla tečnou ke kružnici k.
Teorie
Kružnice je zadána ve středovém tvaru, ze kterého pohodlně přečteme souřadnice středu [m;1] a poloměr přímky r = 4. Střed má tedy neznámou x-souřadnici (je dána parametrem m). Přímka je zadána obecnou rovnicí.
Abychom nalezli m (x-souřadnici středu), budeme hledat průsečíky k a p tak, aby existoval právě jeden (tzn. přímka s kružnicí mají jeden společný bod, je to tečna). Řešíme proto soustavu rovnic přímky a kružnice a hledáme společný bod [x;y].
Není nutné celou soustavu dořešit, stačí si uvědomit, že chceme, aby měla právě jedno řešení, proto ve chvíli, kdy dostáváme kvadratickou rovnici, stačí vzít její diskriminant a položit ho roven nule (je-li diskriminant nula, vyjde právě 1 řešení). Dořešíme jen rovnici s diskriminantem a dostáváme hodnoty parametru m.
Řešení
Spusťte program wxMaxima a začněte psát (i když nikde nebliká kurzor, to nevadí) nebo pište do okna online verze. Pokud používáte program wxMaxima, musíte za každým příkazem stisknout Shift+Enter, aby se vykonal!
| Příkaz wxMaxima | Vysvětlení | Postup |
|---|---|---|
k: (x-m)^2+(y-1)^2=16; | Vkládáme rovnici kružnice a pojmenováváme ji k. | Zadáváme rovnice do programu. |
p: x-3*y+6=0; | Vkládáme rovnici přímky a pojmenováváme p. | |
solve([k,p],[x,y]); | Necháváme program vyřešit soustavu rovnic k, p vzhledem k neznámým x a y, m je tedy parametr. Všimneme si, že x1 a x2, stejně jako y1 a y2 se liší přičtením či odečtením výrazu pod odmocninou (disktiminant), ten by tedy měl být 0. Zkusíme si nejprve vyřešit soustavu „ručně“ dosazovací metodou. | |
solve(p,y); | Necháme „vyřešit“ přímku p pro proměnnou y s „parametrem“ x neboli necháme vyjádřit z rovnice přímky p neznámou y vzhledem k x. | Vyřešíme soustavu rovnic k a p dosazovací metodou, dosazením za y z rovnice přímky. |
rhs(%[1]); | Zobrazíme si jen pravou stranu rovnice, která nám vyšla, to dělá funkce rhs(). symboly %[1] říkají, že z předchozího výsledku, kterým byl (jednoprvkový) seznam (má hranaté závorky) bereme hned první (a zde jedinou) položku. |
|
subst(%,y,k); | Substituujeme (dosazujeme) do rovnice k místo neznámé y hodnotu předchozího výsledku (znak %). Pokud něco nefunguje, můžeme rovnou místo znaku % napsat (x+6)/3. |
|
expand(%); | Roznásobíme předchozí rovnici. | |
%-16 | Od předchozího výsledku odečteme 16, abychom dostali na levé straně kvadratický trojčlen a na pravé straně rovnice nulu. | Máme kvadratickou rovnici pro x vzhledem k m. Jelikož ale nepotřebujeme znát hodnotu x, ale pouze zajistit, aby mělo jediné řešení, budeme dále určovat diskriminant kvadratické rovnice tak, aby byl roven 0. |
lhs(%); | Zobrazíme si jen levou stranu rovnice, tj. pouze kvadr. trojčlen. | |
ratcoef(%,x,2); | Z předchozího výsledku (znak %) si zobrazíme koeficient pro x v 2. mocnině. | |
let(a,%o10); | Nastavíme programu, že má písmeno a později substituovat hodnotou výsledku na řádku 10 (znaky %o10), tj. předchozí výsledek. Pozor, nelze použít znak %, výraz se bude vyhodnocovat až ve chvíli samotného substituování! | |
ratcoef(%o9,x,1); | Z výsledku na řádku 9 (znak %o9, řádek s kvadratickým trojčlenem) si zobrazíme koeficient pro x v 1. mocnině. | |
let(b,%o12); | Nastavíme programu, že má písmeno b později substituovat hodnotou výsledku na předchozím řádku (%o12). | |
ratcoef(%o9,x,0); | Z výsledku na řádku 9 si zobrazíme koeficient pro absolutní člen (x v 0. mocnině)- | |
let(c,%o14); | Nastavíme programu, že má písmeno c později substituovat hodnotou výsledku na předchozím řádku (%o14). | |
letsimp(b^2-4*a*c); | Necháme vypsat vzorec pro diskriminant, funkce letsimp do něj dosadí za neznámé a, b a c dříve nastavené hodnoty. | |
%=0; | V předchozím řádku určený diskriminant položíme roven nule. | Máme rovnici diskriminantu rovnu nule, hledáme pro jaká m bude nula a tudíž vyjde jediný průsečík přímky s kružnicí. |
solve(%); | Necháme vyřešit rovnici v předchozím řádku. | Program nalezl 2 možné hodnoty parametru m. máme řešení. |
Bude-li 
, bude se kružnice dotýkat přímky.
Můžeme ještě spočítat souřadnice tečného bodu:
| Příkaz wxMaxima | Vysvětlení | Postup |
|---|---|---|
rhs(%[1]); | příkaz rhs vybere jen pravou stranu rovnice, %[1] říká první část ze seznamu posledního výsledku. | Zobrazíme hodnotu m1. |
subst(%,m,k); | Substituujeme (dosadíme) předchozí výsledek za parametr m do rovnice kružnice. | Dosadíme za parametr do kružnice. |
solve([%,p],[x,y]); | Vyřešíme soustavu rovnic, první je předchozí výsledek (kružnice s dosazeným parametrem), druhá je přímka, hledáme neznámé x a y. | Hledáme průsečík kružnice a přímky pro první hodnotu parametru m. |
rhs(%o18[2]); subst(%,m,k); solve([%,p],[x,y]); | Výsledek pro druhou hodnotu parametru m2 dostaneme analogicky, nejprve zobrazujeme druhou hodnotu (jen pravou stranu) z výsledku na řádku 18. | Dopočítáme tečný bod pro druhou hodnotu parametru. |
Celý výpočet pro program wxMaxima si můžete stáhnout. Otevřete nové okno a po načtení klikněte v menu na „Cell“ → „Evaluate All Cells“. Nezapomeňte, že při opakovaném provedení příkazu (stisku Shift+Enter) znamená znak % v příkazu vždy výsledek naposledy provedeného výpočtu, nikoliv předchozího řádku. Při opakovaném provedení se také mění čísla řádků, takže nemusí odpovídat správně očíslování např %o18.
Exportovanou podobu v HTML najdete na stránkách prof. Rýdla.
Nástroje pro stránku
