Důkaz vzorce pro součet n členů aritm. posl.

Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí tvrzení:

Nechť (a_n)^∞_n=1 je aritmetická posloupnost a s_n = a₁+a₂+…+a_n je součet jejích první n členů.

Pak platí: $s_n = \frac{n}{2} (a_1+a_n)$

Důkaz povedeme matematickou indukcí.

I. – důkaz pro n=1

Dokážeme platnost tvrzení pro nejnižší možné n.

Z předpokladů tvrzení výše máme, že: s_1=a_1. Dosazením do dokazovaného vzorce $s_1=\frac{1}{2}(a_1+a_1)=a_1$ . Tvrzení pro n=1 tedy platí.

II. – indukční krok

Nyní předpokládáme, že tvrzení (vzorec) je pravdivé pro n=k, kde k je libovolné přirozené číslo. Víme, že minimálně jedno takové existuje a sice k=1 pro ostatní to zatím nevíme. Nyní dokážeme, že jestliže platí tvrzení pro k, pak platí také pro k+1. Jinak řečeno dokazujeme platnost vzorce pro k+1 tak, že do něj aplikujeme vzorec pro k (který je z předpokladu správný), abychom dosáhli pravdivého tvrzení.

Předpoklad: $s_k = \frac{k}{2} (a_1+a_k)$ platí.

Dokazujeme, že platí $s_{k+1} = \frac{k+1}{2} (a_1+a_{k+1})$

Upravím si levou stranu, abych mohl aplikovat předpoklad: $s_k + a_{k+1} = \frac{k+1}{2} (a_1+a_{k+1})$ .

Aplikuji: $\frac{k}{2} (a_1+a_k) +a_{k+1} = \frac{k+1}{2} (a_1+a_{k+1})$

Vynásobím 2 a roznásobím závorky: $ka_1+ka_k+2a_{k+1}=ka_1+a_1+ka_{k+1}+a_{k+1}$

Odečtu k a₁ a přepíšu a_k+1 jako a_k+d, protože jde o aritmetickou posloupnost. $ka_k+2a_k +2d=a_1+ka_k+kd+a_k+d$

Odečtu, co lze: $a_k=a_1+kd-d$ , tedy $a_k=a_1+(k-1)d$

Toto tvrzení je známý vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti, neboli je to pravdivé tvrzení. Tím je důkaz dokončen.

Shrnutí

Nejprve jsme dokázali, že pro n=1 je tvrzení pravdivé. Pak jsme dokázali, že pokud je tvrzení platné pro nějaké k, musí být platné i pro k+1. Takovým nějakým k je třeba číslo 1, ale z toho tedy plzne, že to platí i pro 2. Jestliže platí pro 2, pak platí pro 3. Jestliže pro 3 platí, pak platí pro 4… Neboli platí pro jakékoliv n…

GMLWiki

Postranní lišta

Důkaz vzorce pro součet n členů aritm. posl.

GMLWiki

Uživatelské nástroje

Nástroje pro tento web

Postranní lišta

Důkaz vzorce pro součet n členů aritm. posl.

Nástroje pro stránku