Písemka na opakování Analytické geometrie, Oktáva 2015/2016

Skupina A

Příklad 1

Určete obecnou rovnici přímky p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou q: x=1+3k, y=2+k a procházela bodem A[1;2].

Obecná rovnice přímky je rovnice $ax + b y + c = 0$ , kde koeficienty a a b jsou dány normálovým vektorem přímky (vektorem kolmým na směr přímky), tedy $\vec{n}=(a;b)$ zadává směr přímky a koeficient c určuje umístění přímky v prostoru.

Přímka p rovnoběžná s q musí mít stejný směr (normálový vektor), jen jiné umístění. Přímka q je zadaná parametricky, máme tedy její směrový vektor, jehož složky tvoří násobky koeficientu k. Je tedy $\vec{s_q}=(3;1)$ .

Hledáme normálový vektor, který je k $\vec{s_q}$ kolmý. Jedním z možných kolmých vektorů je $\vec{n_q}=(-1;3)$ . Jelikož $p \parallel q$ , musí $\vec{n_q} = \vec{n_p}$ . Dosadíme do rovnice: $-x + 3 y + c = 0$ . Směr přímky je určen, umístění v prostoru určuje podmínka, že $A \in p$ . Dosadíme bod A do rovnice a dopočítáme koeficient c. $-1 + 3 \cdot 2 + c = 0$ , tedy $c=-5$ .

Řešení: $p: -x + 3 y + -5 = 0$

Poznámka: bylo také možné si všimnout, že bod [1;2] leží na přímce q, jelikož je přímo zadaný v jejím parametrickém vyjádření, takže stačilo převést q do obecného tvaru, jelikož p=q.

Příklad 2

Určete vzdálenost přímky p: x=3k. y=2–2k od bodu [3;2].

Přímka je zadaná parametrickou rovnicí. Existuje vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, kde do levé strany obecné rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu a podělíme délkou normálového vektoru přímky, z výsledku bereme absolutní hodnotu (vzdálenost nemůže být záporná).

$d(A;p)=\frac{|a \cdot x_A + b \cdot y_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ pro } A[x_A;y_A], p: ax+by+c=0$

Převedeme rovnici na obecnou buď sečtením tak, aby se odečetla \\k\\, nebo nalezením kolmého vektoru ke směrovému a dosazením bodu. Každopádně: $x-3y+5=0$ . Dosazením do vzorce získáváme, že délka je

Kdo si nepamatuje vzorec, ví, že vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky dané oním bodem a patou kolmice z bodu vedené k přímce. Určíme tedy kolmici k procházející bodem A=[3;2], například obecnou rovnicí. Jelikož směrový vektor kolmice k musí být kolmý na směrový vektor přímky p a směrový a normálový vektor téže přímky jsou na sebe kolmé, pak normálový vektor kolmice k může být totožný se směrovým vektorem přímky p. Proto $3x-2y+c=0$ . Dosazením bodu A dostáváme koeficient \\c
a tedy $k: 3x-2y-5=0$ .

Stejně dobře bylo možné si říci, že směrový vektor přímky k kolmý na směrový vektor přímky p je třeba (2;3) a proto parametrická rovnice kolmice je $k: x=3+2k, y=2+3k$ .