DÚ: Množiny a intervaly

Zadání

Pokud lze, zapište množiny intervalem nebo výčtem. Vyznačte na číselné ose. Určete sjednocení, průnik a oba rozdíly.

a) $A = ( 3;5 \rangle, B= ( 2;4 \rangle$
b) $A=(1;4) B=(1;2)$
c) $A=(3,5;8,5), B=\langle 3;6 \rangle$
d) $A=\langle \pi; \frac{15}{2} \rangle, B=(\frac{15}{2}; \frac{17}{2} \rangle$
e) $A=\{x \in \mathbb{N};x<5\}, B=\{x \in \mathbb{Z};x\geq -5 \text{ a } x\leq5\}$
f) $A=\{x \in \mathbb{R};x>2,5 \text{ a } x<4,5\}, B=\{x \in \mathbb{R};x>2 \text{ a } x<4\}$
g) $A=\{x \in \mathbb{N};x\leq \frac{10}{3}\}, B=\{0;3;4;5\}$
h) $A=\{3;4;5;6;7;8;9\}, B=\{2;3;4;5;6\}$
i) $A=\{3;3,5;4;4,5;5;5,5;6\}, B=\{4;6;8;10\}$

Určete:

$\mathbb{N}{^'}_\mathbb{Z}$
$A{^'}_\mathbb{N} \text{ pro } A=\{1;2;3;4\}$
$B{^'}_\mathbb{N} \text{ pro } B=\{x \in \mathbb{N}; x>12\}$
$C{^'}_D \text{ pro } C=\{1;3;5;7\} \text{ a } D=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$

Řešení

a) $A\cup B=(2;5\rangle$ ,
$A\cap B=(3;4\rangle$ ,
$A\setminus B=(4;5 \rangle$ ,
$B\setminus A=(2;3 \rangle$
b) $A\cup B= A$ ,
$A\cap B=B$ ,
$A\setminus B=\langle2;4)$ ,
$B\setminus A=\emptyset$
c) $A\cup B= (3;8,5\rangle$ ,
$A\cap B=(3,5;6\rangle$ ,
$A\setminus B=(6;8,5)$ ,
$B\setminus A=\langle3;3,5\rangle$
d) $A\cup B= \langle \pi;\frac{17}{2}\rangle$ ,
$A\cap B=\emptyset$ ,
$A\setminus B=A$ ,
$B\setminus A=B$
e) $A\cup B= B$ ,
$A\cap B= A$ ,
$A\setminus B=\emptyset$ ,
$B\setminus A=\{-5;-4;-3;-2;-1;0;5\}$
f) $A\cup B= (2;4,5)$ ,
$A\cap B=(2,5;4)$ ,
$A\setminus B=\langle 4;4,5)$ ,
$B\setminus A=(2;2,5\rangle$
g) $A\cup B= \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}=\{x \in \mathbb{Z};x\geq 0 \text{ a } x\leq 9\}=\{x \in \mathbb{N}_0;x<10\}$ ,
$A\cap B=\{3;4;5\}$ ,
$A\setminus B=\{1;2;6;7;8;9\}$ ,
$B\setminus A=\{0\}$
h) $A\cup B= \{2;3;4;5;6;7;8;9\}$ ,
$A\cap B=\{3;4;5;6\}$ ,
$A\setminus B=\{7;8;9\}$ ,
$B\setminus A=\{2\}$
i) $A\cup B= \{3;3,5;4;4,5;5;5,5;6;8;10\}$ ,
$A\cap B=\{4;6\}$ ,
$A\setminus B=\{3;3,5;4,5;5;5,5\}$ ,
$B\setminus A=\{8;10\}$

Intervalem lze zapsat pouze množiny z f) a sice $A=(2,5;4,5)$ a $B=(2;4)$ . V ostatních příkladech buď již intervaly jsou nebo jsou množiny zadané výčtem jednotlivých hodnot nebo nad množinami přirozených či celých čísel. Intervaly lze psát pouze u podmnožin čísel reálných!

Výčtem lze zapsat z e) $A=\{1;2;3;4\}$ s $B=\{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5\}$ a pak z g) $A=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$

V řešení g) je několik variant zápisu, u té třetí zdůrazňuji rozdíl mezi $\mathbb{N}_0$ , tj. množina přirozených čísel a nuly a mezi $\mathbb{N}$ , což jsou přirozená čísla (tedy bez nuly). Také pozor na některé detaily jako: $A=\{0\}, B=\emptyset$ , kde množina A je jednoprvková množina obsahující nulu, B je prázdná množina. Nebo $A=\{2\}$ je množina obsahující dvojku, nelze psát bez závorek (A=2), to by bylo jen číslo, nikoli množina.

Druhá část:

$\mathbb{N}{^'}_\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{-}_0=\{x \in \mathbb{Z};x\leq 0\}$
$A{^'}_\mathbb{N} \text{ pro } A=\{1;2;3;4\}; A{^'}_\mathbb{N} = \{x \in \mathbb{N};x> 4\}$
$B{^'}_\mathbb{N} \text{ pro } B=\{x \in \mathbb{N}; x>12\}; B{^'}_\mathbb{N}=\{x \in \mathbb{N}; x\leq12\}$
$C{^'}_D \text{ pro } C=\{1;3;5;7\} \text{ a } D=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}; C{^'}_D=\{0;2;4;6\}$