Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- matematika:analytgeom:ukol1 [06. 05. 2015, 10.57] – vytvořeno rydloadm
+++ matematika:analytgeom:ukol1 [06. 05. 2015, 12.05] (aktuální) – upraveno mimo DokuWiki 127.0.0.1
@@ Řádek 2: / Řádek 2: @@
 ===== Příklad 1 =====
 ==== Zadání ====
-Nalezněte vekto $\vec{v}$ takový, aby svíral úhel 30° s vektorem $\vec{v}=(3;5)$ a aby jeho délka byla $\sqrt{8}$.
+Nalezněte vekto $\vec{v}$ takový, aby svíral úhel 30° s vektorem $\vec{u}=(3;5)$ a aby jeho délka byla $\sqrt{8}$.
 ==== Řešení ====
 Vektor $\vec{v}$ bude mít souřadnice $(v_1;v_2)$. Jsou na něj kladeny dvě podmínky, které vyjádříme v podobě rovnic:
@@ Řádek 11: / Řádek 11: @@
   - $\sqrt{v_1^2+v_2^2} = \sqrt{8}$
+Upravíme první rovnici, vyjádříme v<sub>1</sub>:
+$3v_1+5v_2=4\sqrt{17}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$
+$3v_1+5v_2=2\sqrt{51}$
+$v_1=\frac{2\sqrt{51}-5v_2}{3}$
+Upravíme druhou rovnici (umocnění je v pořádku, víme že pod odmocninou jsou vždy nezáporná čísla, netřeba psát absolutní hodnotu).
+$v_1^2+v_2^2=8$
+Využijeme dosazovací metodu (máme zde druhé mocniny, bude nejpoužitelnější), do druhé rovnice dosadíme v<sub>1</sub> z první:
+$\left( \frac{2\sqrt{51}-5v_2}{3} \right)^2 + v_2^2=8$
+$\frac{4\cdot 51 -20 \sqrt{51}v_2+25v_2^2}{9} + v_2^2=8$
+$17v_2^2 - 10\sqrt{51}v_2+66=0$
+$v_2'=\frac{5\sqrt{3}+3}{\sqrt{17}}, v_2''=\frac{5\sqrt{3}-3}{\sqrt{17}}$
+Dosazením obou řešení pro v<sub>2</sub> do vyjádření v<sub>1</sub> z první rovnice získáme i v<sub>1</sub>:
+$v_1=\frac{2\sqrt{51}-5 \left( \frac{5\sqrt{3} \pm 3}{\sqrt{17}} \right)}{3}$
+$v_1'=\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}-15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}}, v_1''=\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}+15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}}$
+Zapíšeme řešení:
+$\boxed{\vec{v} \in \left\{ \left [\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}-15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}};\frac{5\sqrt{3}+3}{\sqrt{17}} \right ],  \left  [\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}+15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}};\frac{5\sqrt{3}-3}{\sqrt{17}}\right ]\right\}}$
+Zaokrouhleně:
+$\vec{v} \in \left\{ [0,05;2,83], [2,47;1,37]\right\}}$
+===== Příklad 2 =====
+==== Zadání ====
+Určete úhel svíraný vektory $\vec{u}=(2;1), \vec{u}=(5;7)$
+==== Řešení ====
+Příklad je nejjednodušší typ příkladu na skalární součin. Z rovnice $\vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|\cdot cos\alpha$ vyjádříme úhel:
+$\alpha = arccos \left ( \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}  \right )$
+neboli
+$\alpha = arccos \left ( \frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}  \right )$
+Dosadíme souřadnice vektorů a dostáváme:
+$\alpha = arccos \left ( \frac{17}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{74}}  \right )$
+Po správném dosazení do kalkulačky (je třeba mít zapnutý režim stupňů DEG) dostáváme zaokrouhleně:
+$\boxed{\alpha = 27^\circ 54'}$