Malá písemka na středovou souměrnost, skupina A

Zadání

Je dána úsečka CS₁ délky 3 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je CS₁ těžnicí t_c a platí, že b=8 cm a β = 30°.

Řešení

Z náčrtku (nakreslíme libovolný trojúhelník, mající přibližně 30° úhel β a odhadem 8:3 poměr strany b ku těžnici na c) je vidět, že bod S₁ je středem souměrnosti, ve které bod A přechází do B a naopak (A'=B, B'=A).

Pro bod A známe z náčrtku tu vlastnost, že je vzdálen od C o 8 cm (délka strany b). Pro bod B prozměnu platí, že je z něj úsečka AB vidět pod úhlem 30°. Množina bodů dané vlastnosti, na které leží bod B, se přenese ve středové souměrnosti složitěji než kružnice o poloměru 8 cm, proto budeme ve středové souměrnosti zobrazovat kružnici.

Na kružnici k_b(C, 8cm) leží bod A, proto bude bod B = A' ležet na kružnici k' – obrazu kružnice k ve středové souměrnosti podle S₁.

Bod B ale leží zároveň na množině bodů dané vlastnosti, množině bodů, ze kterých je úsečka CS₁ vidět pod úhlem 30°. Nalezneme-li průsečík, máme bod B.

Bod A pak leží na průsečíku polopřímky BS₁ a kružnice k_b.

Viz obrázek:

Postup a diskuse

Pro postup si stáhněte soubor Geogebry, otevřete si i okno zápisu konstrukce (Menu: Zobrazit – Zápis konstrukce) a krokujte dvojklikem na některý krok postupu. Nebo zkuste online verzi:

V diskusi zmíníme, že jsme získali 4 řešení, z nichž dvojice jsou vždy osově souměrné podle těžnice, čili de facto máme 2 různá řešení.