Obecná rovnice přímky je rovnice $ax + b y + c = 0$, kde koeficienty a a b jsou dány normálovým vektorem přímky (vektorem kolmým na směr přímky), tedy $\vec{n}=(a;b)$ zadává směr přímky a koeficient c určuje umístění přímky v prostoru.

Přímka p rovnoběžná s q musí mít stejný směr (normálový vektor), jen jiné umístění. Přímka q je zadaná parametricky, máme tedy její směrový vektor, jehož složky tvoří násobky koeficientu k. Je tedy $\vec{s_q}=(3;1)$.

Hledáme normálový vektor, který je k $\vec{s_q}$ kolmý. Jedním z možných kolmých vektorů je $\vec{n_q}=(-1;3) $. Jelikož $p \parallel q$, musí $ \vec{n_q} = \vec{n_p}$. Dosadíme do rovnice: $-x + 3 y + c = 0$. Směr přímky je určen, umístění v prostoru určuje podmínka, že $A \in p$. Dosadíme bod A do rovnice a dopočítáme koeficient c. $-1 + 3 \cdot 2 + c = 0$, tedy $c=-5$.

Řešení: $p: -x + 3 y + -5 = 0$

Přímka je zadaná parametrickou rovnicí. Existuje vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, kde do levé strany obecné rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu a podělíme délkou normálového vektoru přímky, z výsledku bereme absolutní hodnotu (vzdálenost nemůže být záporná).

$$d(A;p)=\frac{|a \cdot x_A + b \cdot y_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ pro } A[x_A;y_A], p: ax+by+c=0$$

Převedeme rovnici na obecnou buď sečtením tak, aby se odečetla \\k\\, nebo nalezením kolmého vektoru ke směrovému a dosazením bodu. Každopádně: $x-3y+5=0$. Dosazením do vzorce získáváme, že délka je

Kdo si nepamatuje vzorec, ví, že vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky dané oním bodem a patou kolmice z bodu vedené k přímce. Určíme tedy kolmici k procházející bodem A=[3;2], například obecnou rovnicí. Jelikož směrový vektor kolmice k musí být kolmý na směrový vektor přímky p a směrový a normálový vektor téže přímky jsou na sebe kolmé, pak normálový vektor kolmice k může být totožný se směrovým vektorem přímky p. Proto $3x-2y+c=0$. Dosazením bodu A dostáváme koeficient \\c
a tedy $k: 3x-2y-5=0$.

Stejně dobře bylo možné si říci, že směrový vektor přímky k kolmý na směrový vektor přímky p je třeba (2;3) a proto parametrická rovnice kolmice je $k: x=3+2k, y=2+3k$.

Tak jako tak najdeme průsečík $k \cap p$ pomocí soustavy dvou rovnic pro přímky p a k. Bod $P=[\frac{27}{13};\frac{8}{13}]$;

Stačí určit $|AP|=\sqrt{(3-\frac{27}{13})^2+(2-\frac{8}{13})^2}\doteq1,66$