GMLWiki

Tato stránka je pouze pro čtení. Můžete si pouze prohlédnout zdrojový kód, ale ne ho měnit. Zeptejte se správce, pokud si myslíte, že něco není v pořádku.
====== Písemka na opakování Analytické geometrie, Oktáva 2015/2016 ======
===== Skupina A =====
==== Příklad 1 ====
<WRAP center round box 60%>
Určete obecnou rovnici přímky //p// tak, aby byla rovnoběžná s přímkou //q:// //x//=1+3//k//, //y//=2+//k// a procházela bodem A[1;2].
</WRAP>

Obecná rovnice přímky je rovnice $ax + b y + c = 0$, kde koeficienty //a// a //b// jsou dány normálovým vektorem přímky (vektorem kolmým na směr přímky), tedy $\vec{n}=(a;b)$ zadává směr přímky a koeficient //c// určuje umístění přímky v prostoru.

Přímka //p// rovnoběžná s //q// musí mít stejný směr (normálový vektor), jen jiné umístění. Přímka //q// je zadaná parametricky, máme tedy její směrový vektor, jehož složky tvoří násobky koeficientu //k//. Je tedy $\vec{s_q}=(3;1)$.

Hledáme normálový vektor, který je k $\vec{s_q}$ kolmý. Jedním z možných kolmých vektorů je $\vec{n_q}=(-1;3) $. Jelikož $p \parallel q$, musí $ \vec{n_q} = \vec{n_p}$. Dosadíme do rovnice: $-x + 3 y + c = 0$. Směr přímky je určen, umístění v prostoru určuje podmínka, že $A \in p$. Dosadíme bod A do rovnice a dopočítáme koeficient //c//. $-1 + 3 \cdot 2 + c = 0$, tedy $c=-5$.

**Řešení**: $p: -x + 3 y + -5 = 0$

**Poznámka**: bylo také možné si všimnout, že bod [1;2] leží na přímce //q//, jelikož je přímo zadaný v jejím parametrickém vyjádření, takže stačilo převést //q// do obecného tvaru, jelikož //p//=//q//.

==== Příklad 2 ====
<WRAP center round box 60%>
Určete vzdálenost přímky //p//: //x//=3//k//. //y//=2−2//k// od bodu [3;2].
</WRAP>

Přímka je zadaná parametrickou rovnicí. Existuje vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, kde do levé strany obecné rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu a podělíme délkou normálového vektoru přímky, z výsledku bereme absolutní hodnotu (vzdálenost nemůže být záporná).

$$d(A;p)=\frac{|a \cdot x_A + b \cdot y_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ pro } A[x_A;y_A], p: ax+by+c=0$$

Převedeme rovnici na obecnou buď sečtením tak, aby se odečetla //k//, nebo nalezením kolmého vektoru ke směrovému a dosazením bodu. Každopádně: $2x+3y-6=0$. Dosazením do vzorce získáváme, že délka je přibližně 1,66.

**Kdo si nepamatuje vzorec**, ví, že vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky dané oním bodem a patou kolmice z bodu vedené k přímce. Určíme tedy kolmici //k// procházející bodem A=[3;2], například obecnou rovnicí. Jelikož směrový vektor kolmice //k// musí být kolmý na směrový vektor přímky //p// a směrový a normálový vektor téže přímky jsou na sebe kolmé, pak normálový vektor kolmice //k// může být totožný se směrovým vektorem přímky //p//. Proto $3x-2y+c=0$. Dosazením bodu A dostáváme koeficient \\c\\ a tedy $k: 3x-2y-5=0$.

Stejně dobře bylo možné si říci, že směrový vektor přímky //k// kolmý na směrový vektor přímky //p// je třeba (2;3) a proto parametrická rovnice kolmice je $k: x=3+2k, y=2+3k$.

Tak jako tak najdeme průsečík $k \cap p$ pomocí soustavy dvou rovnic pro přímky //p// a //k//. Bod $P=[\frac{27}{13};\frac{8}{13}]$;

Stačí určit $|AP|=\sqrt{(3-\frac{27}{13})^2+(2-\frac{8}{13})^2}\doteq1,66$

==== Příklad 3 ====
<WRAP center round box 60%>
Určete odchylku přímky //p//://x//=1−//k//, //y//=3−3//k// od //q//://x//=//k//, //y//=−3//k//
</WRAP>

Pro odchylku přímek využijeme odchylku jejich směrových nebo normálových vektorů. Jelikož jsou přímky obě zadané parametricky, bude výhodnější určit odchylku směrových vektorů. Potřebujeme vzorec pro skalární součin:

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot cos \alpha$$

Měli bychom také vědět, jak se počítá skalární součin: $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 $, pro vektory $\vec{u}=(u_1;u_2) \text{ a } \vec{v}=(v_1;v_2)$.

Z parametrického vyjádření víme, že $\vec{s_p}=(-1;-3), \vec{s_q}=(1;-3)$. Počítáme:

$$-1+9=\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\cdot cos \alpha $$

$$cos \alpha = \frac{8}{10}$$

$$\alpha \doteq 36^\circ 52''$$