Důkaz vzorce pro součet n členů aritm. posl.

Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí tvrzení:

Nechť (an)∞n=1 je aritmetická posloupnost a sn = a1+a2+…+an je součet jejích první n členů. Pak platí:

Důkaz povedeme matematickou indukcí.

I. – důkaz pro n=1

Dokážeme platnost tvrzení pro nejnižší možné n.

Z předpokladů tvrzení výše máme, že: s_1=a_1. Dosazením do dokazovaného vzorce . Tvrzení pro n=1 tedy platí.

II. – indukční krok

Nyní předpokládáme, že tvrzení (vzorec) je pravdivé pro n=k, kde k je libovolné přirozené číslo. Víme, že minimálně jedno takové existuje a sice k=1 pro ostatní to zatím nevíme. Nyní dokážeme, že jestliže platí tvrzení pro k, pak platí také pro k+1. Jinak řečeno dokazujeme platnost vzorce pro k+1 tak, že do něj aplikujeme vzorec pro k (který je z předpokladu správný), abychom dosáhli pravdivého tvrzení.

Předpoklad: platí.

Dokazujeme, že platí

Upravím si levou stranu, abych mohl aplikovat předpoklad: .

Aplikuji:

Vynásobím 2 a roznásobím závorky: =ka_1+a_1+ka_{k+1}+a_{k+1}

Odečtu k a1 a přepíšu ak+1 jako ak+d, protože jde o aritmetickou posloupnost.

Odečtu, co lze: , tedy

Toto tvrzení je známý vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti, neboli je to pravdivé tvrzení. Tím je důkaz dokončen.

Shrnutí

Nejprve jsme dokázali, že pro n=1 je tvrzení pravdivé. Pak jsme dokázali, že pokud je tvrzení platné pro nějaké k, musí být platné i pro k+1. Takovým nějakým k je třeba číslo 1, ale z toho tedy plzne, že to platí i pro 2. Jestliže platí pro 2, pak platí pro 3. Jestliže pro 3 platí, pak platí pro 4… Neboli platí pro jakékoliv n…