Společná tečna dvou kružnic

Zadání

Jsou dány dvě kružnice. Nalezněte všechny jejich společné tečny.

Náčrtek

Nakreslíme přímku, dále dvě kružnice, kterým je tato přímka tečnou. Doplníme spojnici středů a tím zakreslíme střed stejnolehlosti (průsečík tečny a spojnice středů). Můžeme doplnit i druhé řešení – od ruky načrtneme druhou tečnu.

Úvaha – řešení

Užijeme homotetie, ve které jedna kružnice přechází v druhou. V tomto zobrazení nalezneme společný tečný bod, který se zobrazuje z jedné kružnice na druhou. Je zřejmé, že tento tečný bod bude společný pro libovolný obraz kružnice (s libovolným koeficientem). Z toho plyne, že tato tečna prochází i středem homotetie (pokud by byl definicí stejnolehlosti povolen koeficient 0, pak by se s tímto koeficientem celá kružnice včetně tohoto bodu promítla právě do středu stejnolehlosti).

Střed stejnolehlosti leží s jistotou na spojnici středů kružnic, protože speciálně i středy se musí vzájemně zobrazit. Dále zvolíme libovolný bod na jedné kružnici a na druhé zvolíme bod pod stejným kladným i záporným úhlem vůči spojnici středů, což je dáno nutností zachovat koeficient stejnolehlosti, resp. rovnoběžnost. Kladný i záporný úhel volíme proto, že kružnice se mohou na sebe zobrazit podle dvou stejnolehlostí, s kladným a záporným koeficientem.

Tečnu ke kružnici z bodu (středu stejnolehlosti) nenajdeme od ruky přiložením pravítka, ale pomocí konstrukce thaletovy kružnice nad úsečkou danou středem stejnolehlosti a středem kružnice. Průsečík kružnice a thaletovy kružnice je tečný bod.

Postup