Domácí úkol na skalární součin

Příklad 1

Zadání

Nalezněte vekto takový, aby svíral úhel 30° s vektorem a aby jeho délka byla .

Řešení

Vektor bude mít souřadnice . Jsou na něj kladeny dvě podmínky, které vyjádříme v podobě rovnic:

Úhel vektorů určujeme pomocí rovnice . Skalární součin spočítáme jako obvykle sečtením součinů složek vektorů. Druhá podmínka je na délku vektorů, čili z rovnice pro výpočet délky vektoru dáme do vztahu jeho složky s požadovanou délkou.

Upravíme první rovnici, vyjádříme v1:

Upravíme druhou rovnici (umocnění je v pořádku, víme že pod odmocninou jsou vždy nezáporná čísla, netřeba psát absolutní hodnotu).

Využijeme dosazovací metodu (máme zde druhé mocniny, bude nejpoužitelnější), do druhé rovnice dosadíme v1 z první:

Dosazením obou řešení pro v2 do vyjádření v1 z první rovnice získáme i v1:

Zapíšeme řešení:

Zaokrouhleně:

Příklad 2

Zadání

Určete úhel svíraný vektory

Řešení

Příklad je nejjednodušší typ příkladu na skalární součin. Z rovnice vyjádříme úhel:

neboli

Dosadíme souřadnice vektorů a dostáváme:

Po správném dosazení do kalkulačky (je třeba mít zapnutý režim stupňů DEG) dostáváme zaokrouhleně: