Písemka na opakování Analytické geometrie, Oktáva 2015/2016

Skupina A

Příklad 1

Určete obecnou rovnici přímky p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou q: x=1+3k, y=2+k a procházela bodem A[1;2].

Obecná rovnice přímky je rovnice , kde koeficienty a a b jsou dány normálovým vektorem přímky (vektorem kolmým na směr přímky), tedy zadává směr přímky a koeficient c určuje umístění přímky v prostoru.

Přímka p rovnoběžná s q musí mít stejný směr (normálový vektor), jen jiné umístění. Přímka q je zadaná parametricky, máme tedy její směrový vektor, jehož složky tvoří násobky koeficientu k. Je tedy .

Hledáme normálový vektor, který je k kolmý. Jedním z možných kolmých vektorů je . Jelikož , musí . Dosadíme do rovnice: . Směr přímky je určen, umístění v prostoru určuje podmínka, že . Dosadíme bod A do rovnice a dopočítáme koeficient c. , tedy .

Řešení:

Příklad 2

Určete vzdálenost přímky p: x=3k. y=2–2k od bodu [3;2].

Přímka je zadaná parametrickou rovnicí. Existuje vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, kde do levé strany obecné rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu a podělíme délkou normálového vektoru přímky, z výsledku bereme absolutní hodnotu (vzdálenost nemůže být záporná).

Převedeme rovnici na obecnou buď sečtením tak, aby se odečetla \\k\\, nebo nalezením kolmého vektoru ke směrovému a dosazením bodu. Každopádně: . Dosazením do vzorce získáváme, že délka je

Kdo si nepamatuje vzorec, ví, že vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky dané oním bodem a patou kolmice z bodu vedené k přímce. Určíme tedy kolmici k procházející bodem A=[3;2], například obecnou rovnicí. Jelikož směrový vektor kolmice k musí být kolmý na směrový vektor přímky p a směrový a normálový vektor téže přímky jsou na sebe kolmé, pak normálový vektor kolmice k může být totožný se směrovým vektorem přímky p. Proto . Dosazením bodu A dostáváme koeficient \\c
a tedy .

Stejně dobře bylo možné si říci, že směrový vektor přímky k kolmý na směrový vektor přímky p je třeba (2;3) a proto parametrická rovnice kolmice je .

Tak jako tak najdeme průsečík pomocí soustavy dvou rovnic pro přímky p a k. Bod ;

Stačí určit