====== Důkaz vzorce pro součet n členů aritm. posl. ======
Pro součet prvních //n// členů aritmetické posloupnosti platí tvrzení:

<WRAP center round important 80%>
Nechť (//a//<sub>//n//</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> je aritmetická posloupnost a //s<sub>n</sub> = a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+...+a<sub>n</sub>// je součet jejích první //n// členů.

Pak platí: $s_n = \frac{n}{2} (a_1+a_n)$
</WRAP>

Důkaz povedeme matematickou indukcí.

**I. -- důkaz pro //n//=1**

Dokážeme platnost tvrzení pro nejnižší možné //n//.

Z předpokladů tvrzení výše máme, že: //s_1=a_1//. Dosazením do dokazovaného vzorce $s_1=\frac{1}{2}(a_1+a_1)=a_1$. Tvrzení pro //n=1// tedy platí.

**II. -- indukční krok**

Nyní předpokládáme, že tvrzení (vzorec) je pravdivé pro //n=k//, kde //k// je libovolné přirozené číslo. Víme, že minimálně jedno takové existuje a sice //k//=1 pro ostatní to zatím nevíme. Nyní dokážeme, že jestliže platí tvrzení pro //k//, pak platí také pro //k+1//. Jinak řečeno dokazujeme platnost vzorce pro //k+1// tak, že do něj aplikujeme vzorec pro //k// (který je z předpokladu správný), abychom dosáhli pravdivého tvrzení.

Předpoklad: $s_k = \frac{k}{2} (a_1+a_k)$ platí.

Dokazujeme, že platí $s_{k+1} = \frac{k+1}{2} (a_1+a_{k+1})$

Upravím si levou stranu, abych mohl aplikovat předpoklad: $s_k + a_{k+1} = \frac{k+1}{2} (a_1+a_{k+1})$.

Aplikuji: $\frac{k}{2} (a_1+a_k) +a_{k+1} = \frac{k+1}{2} (a_1+a_{k+1})$

Vynásobím 2 a roznásobím závorky: $ka_1+ka_k+2a_{k+1}=ka_1+a_1+ka_{k+1}+a_{k+1}$

Odečtu //k a<sub>1</sub>// a přepíšu //a<sub>k+1</sub>// jako //a<sub>k</sub>+d//, protože jde o aritmetickou posloupnost.
$ka_k+2a_k +2d=a_1+ka_k+kd+a_k+d$

Odečtu, co lze: $a_k=a_1+kd-d$, tedy $a_k=a_1+(k-1)d$

Toto tvrzení je známý vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti, neboli je to pravdivé tvrzení. Tím je důkaz dokončen.

**Shrnutí**

Nejprve jsme dokázali, že pro n=1 je tvrzení pravdivé. Pak jsme dokázali, že pokud je tvrzení platné pro nějaké k, musí být platné i pro k+1. Takovým nějakým k je třeba číslo 1, ale z toho tedy plzne, že to platí i pro 2. Jestliže platí pro 2, pak platí pro 3. Jestliže pro 3 platí, pak platí pro 4... Neboli platí pro jakékoliv n...