Uživatelské nástroje
matematika:analytgeom:ukol1
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
| Následující verze | Předchozí verze | ||
|
matematika:analytgeom:ukol1 [06. 05. 2015, 10.57] rydloadm vytvořeno |
matematika:analytgeom:ukol1 [06. 05. 2015, 12.05] (aktuální) |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 2: | Řádek 2: | ||
| ===== Příklad 1 ===== | ===== Příklad 1 ===== | ||
| ==== Zadání ==== | ==== Zadání ==== | ||
| - | Nalezněte vekto $\vec{v}$ takový, aby svíral úhel 30° s vektorem $\vec{v}=(3;5)$ a aby jeho délka byla $\sqrt{8}$. | + | Nalezněte vekto $\vec{v}$ takový, aby svíral úhel 30° s vektorem $\vec{u}=(3;5)$ a aby jeho délka byla $\sqrt{8}$. |
| ==== Řešení ==== | ==== Řešení ==== | ||
| Vektor $\vec{v}$ bude mít souřadnice $(v_1;v_2)$. Jsou na něj kladeny dvě podmínky, které vyjádříme v podobě rovnic: | Vektor $\vec{v}$ bude mít souřadnice $(v_1;v_2)$. Jsou na něj kladeny dvě podmínky, které vyjádříme v podobě rovnic: | ||
| Řádek 11: | Řádek 11: | ||
| - $\sqrt{v_1^2+v_2^2} = \sqrt{8}$ | - $\sqrt{v_1^2+v_2^2} = \sqrt{8}$ | ||
| + | Upravíme první rovnici, vyjádříme v<sub>1</sub>: | ||
| + | $3v_1+5v_2=4\sqrt{17}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$ | ||
| + | $3v_1+5v_2=2\sqrt{51}$ | ||
| + | |||
| + | $v_1=\frac{2\sqrt{51}-5v_2}{3}$ | ||
| + | |||
| + | Upravíme druhou rovnici (umocnění je v pořádku, víme že pod odmocninou jsou vždy nezáporná čísla, netřeba psát absolutní hodnotu). | ||
| + | |||
| + | $v_1^2+v_2^2=8$ | ||
| + | |||
| + | Využijeme dosazovací metodu (máme zde druhé mocniny, bude nejpoužitelnější), do druhé rovnice dosadíme v<sub>1</sub> z první: | ||
| + | |||
| + | $\left( \frac{2\sqrt{51}-5v_2}{3} \right)^2 + v_2^2=8$ | ||
| + | |||
| + | $\frac{4\cdot 51 -20 \sqrt{51}v_2+25v_2^2}{9} + v_2^2=8$ | ||
| + | |||
| + | $17v_2^2 - 10\sqrt{51}v_2+66=0$ | ||
| + | |||
| + | $v_2'=\frac{5\sqrt{3}+3}{\sqrt{17}}, v_2''=\frac{5\sqrt{3}-3}{\sqrt{17}}$ | ||
| + | |||
| + | Dosazením obou řešení pro v<sub>2</sub> do vyjádření v<sub>1</sub> z první rovnice získáme i v<sub>1</sub>: | ||
| + | |||
| + | $v_1=\frac{2\sqrt{51}-5 \left( \frac{5\sqrt{3} \pm 3}{\sqrt{17}} \right)}{3}$ | ||
| + | |||
| + | $v_1'=\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}-15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}}, v_1''=\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}+15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}}$ | ||
| + | |||
| + | Zapíšeme řešení: | ||
| + | |||
| + | $\boxed{\vec{v} \in \left\{ \left [\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}-15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}};\frac{5\sqrt{3}+3}{\sqrt{17}} \right ], \left [\frac{2\sqrt{51}\sqrt{17}+15-25\sqrt{3}}{3\sqrt{17}};\frac{5\sqrt{3}-3}{\sqrt{17}}\right ]\right\}}$ | ||
| + | |||
| + | Zaokrouhleně: | ||
| + | |||
| + | $\vec{v} \in \left\{ [0,05;2,83], [2,47;1,37]\right\}}$ | ||
| + | |||
| + | ===== Příklad 2 ===== | ||
| + | ==== Zadání ==== | ||
| + | Určete úhel svíraný vektory $\vec{u}=(2;1), \vec{u}=(5;7)$ | ||
| + | ==== Řešení ==== | ||
| + | Příklad je nejjednodušší typ příkladu na skalární součin. Z rovnice $\vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|\cdot cos\alpha$ vyjádříme úhel: | ||
| + | |||
| + | $\alpha = arccos \left ( \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} \right )$ | ||
| + | |||
| + | neboli | ||
| + | |||
| + | $\alpha = arccos \left ( \frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}} \right )$ | ||
| + | |||
| + | Dosadíme souřadnice vektorů a dostáváme: | ||
| + | |||
| + | $\alpha = arccos \left ( \frac{17}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{74}} \right )$ | ||
| + | |||
| + | Po správném dosazení do kalkulačky (je třeba mít zapnutý režim stupňů DEG) dostáváme zaokrouhleně: | ||
| + | |||
| + | $\boxed{\alpha = 27^\circ 54'}$ | ||
matematika/analytgeom/ukol1.1430902653.txt.gz · Poslední úprava: 06. 05. 2015, 10.57 (upraveno mimo DokuWiki)
Nástroje pro stránku
