Písemka na opakování Analytické geometrie, Oktáva 2015/2016

Skupina A

Příklad 1

Určete obecnou rovnici přímky p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou q: x=1+3k, y=2+k a procházela bodem A[1;2].

Obecná rovnice přímky je rovnice $ax + b y + c = 0$ , kde koeficienty a a b jsou dány normálovým vektorem přímky (vektorem kolmým na směr přímky), tedy $\vec{n}=(a;b)$ zadává směr přímky a koeficient c určuje umístění přímky v prostoru.

Přímka p rovnoběžná s q musí mít stejný směr (normálový vektor), jen jiné umístění. Přímka q je zadaná parametricky, máme tedy její směrový vektor, jehož složky tvoří násobky koeficientu k. Je tedy $\vec{s_q}=(3;1)$ .

Hledáme normálový vektor, který je k $\vec{s_q}$ kolmý. Jedním z možných kolmých vektorů je $\vec{n_q}=(-1;3)$ . Jelikož $p \parallel q$ , musí $\vec{n_q} = \vec{n_p}$ . Dosadíme do rovnice: $-x + 3 y + c = 0$ . Směr přímky je určen, umístění v prostoru určuje podmínka, že $A \in p$ . Dosadíme bod A do rovnice a dopočítáme koeficient c. $-1 + 3 \cdot 2 + c = 0$ , tedy $c=-5$ .

Řešení: $p: -x + 3 y + -5 = 0$

Poznámka: bylo také možné si všimnout, že bod [1;2] leží na přímce q, jelikož je přímo zadaný v jejím parametrickém vyjádření, takže stačilo převést q do obecného tvaru, jelikož p=q.

Příklad 2

Určete vzdálenost přímky p: x=3k. y=2−2k od bodu [3;2].

Přímka je zadaná parametrickou rovnicí. Existuje vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, kde do levé strany obecné rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu a podělíme délkou normálového vektoru přímky, z výsledku bereme absolutní hodnotu (vzdálenost nemůže být záporná).

$d(A;p)=\frac{|a \cdot x_A + b \cdot y_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ pro } A[x_A;y_A], p: ax+by+c=0$

Převedeme rovnici na obecnou buď sečtením tak, aby se odečetla k, nebo nalezením kolmého vektoru ke směrovému a dosazením bodu. Každopádně: $2x+3y-6=0$ . Dosazením do vzorce získáváme, že délka je přibližně 1,66.

Kdo si nepamatuje vzorec, ví, že vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky dané oním bodem a patou kolmice z bodu vedené k přímce. Určíme tedy kolmici k procházející bodem A=[3;2], například obecnou rovnicí. Jelikož směrový vektor kolmice k musí být kolmý na směrový vektor přímky p a směrový a normálový vektor téže přímky jsou na sebe kolmé, pak normálový vektor kolmice k může být totožný se směrovým vektorem přímky p. Proto $3x-2y+c=0$ . Dosazením bodu A dostáváme koeficient \\c
a tedy $k: 3x-2y-5=0$ .

Stejně dobře bylo možné si říci, že směrový vektor přímky k kolmý na směrový vektor přímky p je třeba (2;3) a proto parametrická rovnice kolmice je $k: x=3+2k, y=2+3k$ .

Tak jako tak najdeme průsečík $k \cap p$ pomocí soustavy dvou rovnic pro přímky p a k. Bod $P=[\frac{27}{13};\frac{8}{13}]$ ;

Stačí určit $|AP|=\sqrt{(3-\frac{27}{13})^2+(2-\frac{8}{13})^2}\doteq1,66$

Příklad 3

Určete odchylku přímky p:x=1−k, y=3−3k od q:x=k, y=−3k

Pro odchylku přímek využijeme odchylku jejich směrových nebo normálových vektorů. Jelikož jsou přímky obě zadané parametricky, bude výhodnější určit odchylku směrových vektorů. Potřebujeme vzorec pro skalární součin:

$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot cos \alpha$

Měli bychom také vědět, jak se počítá skalární součin: $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2$ , pro vektory $\vec{u}=(u_1;u_2) \text{ a } \vec{v}=(v_1;v_2)$ .

Z parametrického vyjádření víme, že $\vec{s_p}=(-1;-3), \vec{s_q}=(1;-3)$ . Počítáme:

$-1+9=\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\cdot cos \alpha$

$cos \alpha = \frac{8}{10}$

$\alpha \doteq 36^\circ 52''$