Uživatelské nástroje
matematika:analytgeom:opakovacipisemka
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
| Následující verze | Předchozí verze | ||
|
matematika:analytgeom:opakovacipisemka [08. 09. 2015, 00.10] rydloadm vytvořeno |
matematika:analytgeom:opakovacipisemka [08. 09. 2015, 08.38] (aktuální) rydloadm |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 12: | Řádek 12: | ||
| Hledáme normálový vektor, který je k $\vec{s_q}$ kolmý. Jedním z možných kolmých vektorů je $\vec{n_q}=(-1;3) $. Jelikož $p \parallel q$, musí $ \vec{n_q} = \vec{n_p}$. Dosadíme do rovnice: $-x + 3 y + c = 0$. Směr přímky je určen, umístění v prostoru určuje podmínka, že $A \in p$. Dosadíme bod A do rovnice a dopočítáme koeficient //c//. $-1 + 3 \cdot 2 + c = 0$, tedy $c=-5$. | Hledáme normálový vektor, který je k $\vec{s_q}$ kolmý. Jedním z možných kolmých vektorů je $\vec{n_q}=(-1;3) $. Jelikož $p \parallel q$, musí $ \vec{n_q} = \vec{n_p}$. Dosadíme do rovnice: $-x + 3 y + c = 0$. Směr přímky je určen, umístění v prostoru určuje podmínka, že $A \in p$. Dosadíme bod A do rovnice a dopočítáme koeficient //c//. $-1 + 3 \cdot 2 + c = 0$, tedy $c=-5$. | ||
| - | Řešení: $p: -x + 3 y + -5 = 0$ | + | **Řešení**: $p: -x + 3 y + -5 = 0$ |
| + | |||
| + | **Poznámka**: bylo také možné si všimnout, že bod [1;2] leží na přímce //q//, jelikož je přímo zadaný v jejím parametrickém vyjádření, takže stačilo převést //q// do obecného tvaru, jelikož //p//=//q//. | ||
| ==== Příklad 2 ==== | ==== Příklad 2 ==== | ||
| <WRAP center round box 60%> | <WRAP center round box 60%> | ||
| - | Určete vzdálenost přímky //p//: //x//=3//k//. //y//=2–2//k// od bodu [3;2]. | + | Určete vzdálenost přímky //p//: //x//=3//k//. //y//=2−2//k// od bodu [3;2]. |
| </WRAP> | </WRAP> | ||
| Řádek 23: | Řádek 25: | ||
| $$d(A;p)=\frac{|a \cdot x_A + b \cdot y_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ pro } A[x_A;y_A], p: ax+by+c=0$$ | $$d(A;p)=\frac{|a \cdot x_A + b \cdot y_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \text{ pro } A[x_A;y_A], p: ax+by+c=0$$ | ||
| - | Převedeme rovnici na obecnou buď sečtením tak, aby se odečetla \\k\\, nebo nalezením kolmého vektoru ke směrovému a dosazením bodu. Každopádně: $x-3y+5=0$. Dosazením do vzorce získáváme, že délka je FIXME | + | Převedeme rovnici na obecnou buď sečtením tak, aby se odečetla //k//, nebo nalezením kolmého vektoru ke směrovému a dosazením bodu. Každopádně: $2x+3y-6=0$. Dosazením do vzorce získáváme, že délka je přibližně 1,66. |
| - | Kdo si nepamatuje vzorec, ví, že vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky dané oním bodem a patou kolmice z bodu vedené k přímce. Určíme tedy kolmici //k// procházející bodem A=[3;2], například obecnou rovnicí. Jelikož směrový vektor kolmice //k// musí být kolmý na směrový vektor přímky //p// a směrový a normálový vektor téže přímky jsou na sebe kolmé, pak normálový vektor kolmice //k// může být totožný se směrovým vektorem přímky //p//. Proto $3x-2y+c=0$. Dosazením bodu A dostáváme koeficient \\c\\ a tedy $k: 3x-2y-5=0$. | + | **Kdo si nepamatuje vzorec**, ví, že vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky dané oním bodem a patou kolmice z bodu vedené k přímce. Určíme tedy kolmici //k// procházející bodem A=[3;2], například obecnou rovnicí. Jelikož směrový vektor kolmice //k// musí být kolmý na směrový vektor přímky //p// a směrový a normálový vektor téže přímky jsou na sebe kolmé, pak normálový vektor kolmice //k// může být totožný se směrovým vektorem přímky //p//. Proto $3x-2y+c=0$. Dosazením bodu A dostáváme koeficient \\c\\ a tedy $k: 3x-2y-5=0$. |
| Stejně dobře bylo možné si říci, že směrový vektor přímky //k// kolmý na směrový vektor přímky //p// je třeba (2;3) a proto parametrická rovnice kolmice je $k: x=3+2k, y=2+3k$. | Stejně dobře bylo možné si říci, že směrový vektor přímky //k// kolmý na směrový vektor přímky //p// je třeba (2;3) a proto parametrická rovnice kolmice je $k: x=3+2k, y=2+3k$. | ||
| Řádek 32: | Řádek 34: | ||
| Stačí určit $|AP|=\sqrt{(3-\frac{27}{13})^2+(2-\frac{8}{13})^2}\doteq1,66$ | Stačí určit $|AP|=\sqrt{(3-\frac{27}{13})^2+(2-\frac{8}{13})^2}\doteq1,66$ | ||
| + | |||
| + | ==== Příklad 3 ==== | ||
| + | <WRAP center round box 60%> | ||
| + | Určete odchylku přímky //p//://x//=1−//k//, //y//=3−3//k// od //q//://x//=//k//, //y//=−3//k// | ||
| + | </WRAP> | ||
| + | |||
| + | Pro odchylku přímek využijeme odchylku jejich směrových nebo normálových vektorů. Jelikož jsou přímky obě zadané parametricky, bude výhodnější určit odchylku směrových vektorů. Potřebujeme vzorec pro skalární součin: | ||
| + | |||
| + | $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot cos \alpha$$ | ||
| + | |||
| + | Měli bychom také vědět, jak se počítá skalární součin: $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 $, pro vektory $\vec{u}=(u_1;u_2) \text{ a } \vec{v}=(v_1;v_2)$. | ||
| + | |||
| + | Z parametrického vyjádření víme, že $\vec{s_p}=(-1;-3), \vec{s_q}=(1;-3)$. Počítáme: | ||
| + | |||
| + | $$-1+9=\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\cdot cos \alpha $$ | ||
| + | |||
| + | $$cos \alpha = \frac{8}{10}$$ | ||
| + | |||
| + | $$\alpha \doteq 36^\circ 52''$$ | ||
matematika/analytgeom/opakovacipisemka.1441663841.txt.gz · Poslední úprava: 08. 09. 2015, 00.10 (upraveno mimo DokuWiki)
Nástroje pro stránku
