====== Algoritmizace ======

===== Pojmy =====

  * **Algoritmus** – konečná sekvence operací sloužící k řešení určitého typu úlohy
  * **Program** – systematicky sestavený soubor algoritmů, zapsaný v určitém programovacím jazyce, který lze zkompilovat a spustit
  * **Programovací jazyk** – prostředek pro zápis algoritmů a tvorbu programů

===== Pravidla programovacích jazyků =====
  * **Syntaxe** (forma) – Definuje kombinaci symbolů, které jsou považovány za správně strukturovaný kód. V každém programovacím jazyce bývá syntaxe odlišná. Jejími typickými prvky jsou např. závorky, středníky, mezery a tabulátory. Je-li syntaxe chybná, výsledný program nelze zkompilovat. 
  * **Sémantika** (význam) – Zhodnocuje význam syntakticky platných řetězců a provádí jejich výpočty. Popisuje procesy, které počítač provádí při běhu programu. Například:
  * //int number = 1 + 1;//
  * Dojde k inicializaci deklarované proměnné "number" – je do ní vložen výsledek součtu 1 + 1.


===== Vlastnosti algoritmu =====
  * **Determinovanost** (Určenost) 
    * Binární vlastnost - Odpovídá na otázku: "Je výsledek algoritmu vždy stejný pro stejné vstupní hodnoty?"
    * Algoritmus není determinovatelný pokud má vnitřní stav (například počítá kolikrát algoritmus byl spuštěn) nebo pokud používá skutečně náhodné hodnoty.
    * Základní kámen funkcionálního programování a jednou z podmínek takzvané [[https://en.wikipedia.org/wiki/Pure_function|"pure function"]]
  * **Obecnost**
    * Popisuje pro jakou množinu vstupů algoritmus funguje. 
    * Analogií obecnosti algoritmu je definiční obor funkce.
    * Algoritmus by měl řešit typovou úlohu co nejvíce obecně, například implementace kosinové věty je obecnější než implementace pythagorovy věty (funguje pro větší množinu úhlů).
  * **Finitivnost** (Konečnost)
    * Binární vlastnost - Odpovídá na otázku: "Skončí algoritmus pro jakýkoliv vstup po konečně mnoha krocích?"
  * **Resultativnost** (Výslednost)
    * Binární vlastnost - Odpovídá jestli má pro daný vstup algoritmus nějaký výstup nebo ne.
    * Algoritmus není resultativní pokud vrací void a neměnní vnější proměnné.
  * **Korektnost** (Správnost)
    * Binární vlastnost - Vydá algoritmus pro všechny vstupy správný výsledek?
  * **Efektivita**
    * Dělí se na paměťovou efektivitu (náročnost na paměť) a výpočetní efektivitu (náročnost na výpočet), tyto dvě vlastnosti jsou často k sobě ve vztahu nepřímé úměry (například dynamické programování).
    * Primárně se určuje pomocí velké O notace.
    * Sekundárně se určuje podle praktických záležitostí (například cache miss nebo CPU branch prediction)
{{:informatika:maturita:big_o.jpg?400|}}
===== Známé algoritmy =====

==== Eratosthenovo síto ====

Algoritmus pro získání všech prvočísel od dvou po dané číslo.

Postup: 

Krok 1: Vytvoření seznamu, obsahujícího všechna čísla v rozsahu 2 až n: 

Krok 2: První číslo ze seznamu je zapsáno jako prvočíslo do seznamu prvočísel a ze seznamu je vymazáno společně se všemi jeho násobky.

Krok 3: Opakuj krok 2, dokud není původní seznam prázdný.

Krok 4: Seznam prvočísel obsahuje všechna prvočísla od 2 po n

Časová složitost: O(n log(log(n)))

Paměťová složitost: O(1)


[[https://www.youtube.com/watch?v=2SD2lLFj4h0&feature=player_detailpage|Ukázka erastotenova síta na číslech od 2 do 120]]


==== Euklidův algoritmus ====

Algoritmus pro výpočet největšího společného dělitele (dále jen NSD) dvou čísel.

Zde příklad: jsou zadána dvě čísla 140 a 15.

Postup:
  * Nejprve zjistíme zbytek po dělení většího čísla číslem menším. (V našem případě 140 = 9 * 15 + **5**)
  * Nyní zopakujeme první krok, ale s dělením menšího čísla zbytkem po dělení (15 = 3 * 5 + **0**)
  * Vyšel nám zbytek 0, takže NSD je rovno 5, pokud by nám nevyšel zbytek 0 aplikovali bychom znovu krok jedna

Časová složitost: O(log(min(a, b)))

Paměťová složitost: O(1)

[[http://www.algoritmy.net/article/44/Eukliduv-algoritmus|Podrobnější vysvětlení]]


==== Djikstrův algoritmus ====

Algoritmus sloužící pro výběr nejlepší trasy z bodu A do bodu B. 

Postup:
  * Každá cesta mezi jednotlivými body dostane hodnotu, podle "náročnosti" (délka trasy, povolená rychlost, ...). 
  * Algoritmus si postupně vypočítává délku cesty z bodu A do všech sousedních bodů a z nich do dalších bodů. 
  * Pokud algoritmus najde novou cestu do již objeveného bodu, pomalejší cestu k tomuto bodu odstraní. 
  * Na konci zůstane pouze jedna nejrychlejší cesta do kažhého z bodů.
  * Algoritmus pak jako výstup vydá nejrychlejší cestu do požadovaného bodu B. 

Nejhorší možná časová složitost: O(V^2)

Nějhorší možná paměťová složitost: O(V + H)

V = počet vrcholů

H = počet hran

{{:informatika:maturita:dijkstra_animation.gif?283|}}

===== Pravděpodobnostní algoritmy: =====

==== Algoritmus Las Vegas ====

Algoritmus hledající prvek žádaného typu v množině s více typy prvků. V základní podobě algoritmu je narušen jak princip determinismu, tak princip konečnosti (není-li běhový čas algoritmu či počet opakování cyklu nijak omezen, běhová doba algoritmu se teoreticky může blížit nekonečnu ...). 

Postup:
  * Algoritmus vybere prvek množiny s náhodně přiděleným pořadovým číslem v rámci povoleného rozsahu odpovídajícím velikosti možiny.
  * Poté algoritmus u získaného prvku ověřuje typ, je-li typ shodný s typem hledaným, prvek vrátí jako výsledný výstup.
  * Pokud však typ prvku neodpovídá, postup se opakuje a to tak dlouho, dokud není nalezen prvek typově odpovídající.


==== Algoritmus Monte Carlo ====

Algoritmus s cílem analogickým k výše zmíněnému. Je alternativou k algoritmu Las Vegas, neboť nabízí konečnost (ukončení běhu cyklu v závislosti na parametru maximálního běhového času či počtu opakování cyklu) výměnou za jistou pravděpodobnost nedosažení cíle (není-li v rámci daného času či počtu opakování nalezen prvek žádaného typu, algoritmus skončí a vrátí se "s prázdnou").

Postup:
  * Algoritmus vybere prvek množiny s náhodně přiděleným pořadovým číslem v rámci povoleného rozsahu odpovídajícím velikosti možiny.
  * Poté algoritmus u získaného prvku ověřuje typ, je-li typ shodný s typem hledaným, prvek vrátí jako výsledný výstup.
  * Pokud však typ prvku neodpovídá a zároveň není dosaženo maximálního času či počtu opakování cyklu, postup je zopakován.